Аксиоматическое определение вероятности

Числовая функция P(A) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

• P(A) >= 0 (Аксиома Неотрицательности)

• P(Ω) = 1 (Аксиома Нормированности)

• P(A1 + A2 + ... + An + ...) = P(A1) + P(A2) + ... P(An) + ... (Расширенная аксиома сложения)

Расширенная аксиома сложения справедлива для счетного числа попарно несовместных событий

И этих аксиом можно вывести ряд свойств вероятности:

1. P(Ā) = 1 - P(A) Вероятность дополнительного события

2. P(Ø) = 0 Вероятность невозможного события

3. P(A) <= P(B) A⊂B Большему событию соответствует большая вероятность

4. 0 <=P(A) <= 1 Вероятность заключена между 0 и 1

5. P(А ∪ В) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Вероятность объединения событий

6. P(А1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = P(A1) + ... + P(An) - P(A1A2) - ... - P(A(n-1)A(n)) +P(A1A2A3)+ ... + (-1)^(n+1)P(A1A2...An)

7. P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... P(An)

Свойство 6 является обобщением пятого и доказывается индукцией по n

Из свойств 2 и 6 получаем свойство 7