События, действия над ними

Событие и элементарное событие - тождественные понятия

Событие - исход испытания, только не обязательно неделимый.

Теоретико-множественное определения события:

• Произвольный набор элементарных исходов

• Произвольное подмножество множества элементарных исходов Ω

События обозначаются латинскими прописными буквами (A,B,C1,D5 и.т.п)

Пример:

Бросок игрального кубика:

Ω = { ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 }
 ωn - выпало n очков
 A = { ω2, ω4, ω6 } - выпало четное кол-во очков

Класcификация событий:

• Достоверное

• Невозможное

• Случайное

Достоверное событие содержит все элементарные исходы, т.е происходит всегда

Множество элементарных исходов Ω является достоверным событием

Невозможное событие ( обозначается Ø ) не содержит ни одного элементарного исхода, т.е не произойдет никогда

Случайное событие может произойти или не произойти при заданном условии испытания

Над событиями, как над подмножествами фиксированного (конечного) множества можно производить следующие действия:

• Пересечение(произведение)

• Объединение(сумма)

• Разность

• Симметрическая разность

• Дополнение

Пересечением множеств А и В называют множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Если А ∩ В = Ø , т.е A и B не имеют общих элементарных исходов ( не могут произойти одновременно) , то такие события называют несовместными или непересекающимися

Объединением множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Если A и B несовместны - то принято обозначать их объединение знаком "+" (A + B)

Разностью множеств А и В называется множество А \ В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А \ В = {1,2}

Если A и B несовместны - то A \ B = A

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей А \ В и В \ А, которые несовместны, то есть А Δ В = (А \ В) + (В \А).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Нетрудно заметить что Симметрическая разность A и B, это их объединение без общей части

Дополнением множества A называется множество Ā = Ω \ A , т.е это событие происходящие только тогда, когда не происходит событие A

Формула де Моргана:

Часто бывает полезным представления события в виде диаграммы Эйлера-Венна

Пример диаграммы для двух случайных событий